4.7 — 科学记数法简介

在我们讨论下一个主题之前，我们将侧重于科学记数法。

科学记数法是一种简洁书写长数字的有用速记方法。尽管科学记数法一开始可能看起来很陌生，但理解科学记数法将帮助您理解浮点数的工作原理，更重要的是，理解它们的局限性。

科学记数法中的数字采用以下形式：有效数字 x 10^指数。例如，在科学记数法 1.2 x 10⁴ 中，1.2 是有效数字，4 是指数。由于 10⁴ 等于 10,000，因此 1.2 x 10⁴ 等于 12,000。

按照惯例，科学记数法中的数字写成小数点前只有一位数字，其余数字在小数点后。

考虑地球的质量。在十进制记数法中，我们会将其写为 5972200000000000000000000 kg。这是一个非常大的数字（甚至大到无法放入 8 字节整数中）。它也很难阅读（那是 19 个零还是 20 个零？）。即使使用分隔符（5,972,200,000,000,000,000,000,000），这个数字仍然难以阅读。

在科学记数法中，这将被写为 5.9722 x 10²⁴ kg，这更容易阅读。科学记数法还有一个额外的好处，那就是通过比较指数，可以更容易地比较两个极大或极小数的量级。

因为在 C++ 中很难输入或显示指数，我们使用字母“e”（有时是“E”）来表示方程中“乘以 10 的幂”的部分。例如，1.2 x 10⁴ 将被写为 1.2e4，而 5.9722 x 10²⁴ 将被写为 5.9722e24。

对于小于 1 的数字，指数可以是负数。数字 5e-2 等效于 5 * 10⁻²，即 5 / 10²，或者 0.05。电子的质量是 9.1093837e-31 kg。

对于 Linux 用户

如果您使用的是 Arch Linux 并且 5 * 10⁻² 的上标缺少负号，您可能需要安装一个可以显示这些字符的字体。有关更多信息，请参阅此 Reddit 帖子。

有效数字

假设你需要知道数学常数 pi 的值用于某个方程，但你忘记了。你问两个人。一个人告诉你 pi 的值是 3.14。另一个人告诉你 pi 的值是 3.14159。这两个值都是“正确”的，但后者更精确。

这是关于科学记数法最重要的一点：有效数字（'e' 之前的数字）被称为有效数字（或有效位数）。有效数字越多，数字就越精确。

关键见解

有效数字越多，数字就越精确。

在科学记数法中，我们会将 3.14 写成 3.14e0。由于有效数字中有 3 个数字，因此这个数字有 3 个有效数字。

3.14159 将被写成 3.14159e0。由于有效数字中有 6 个数字，因此这个数字有 6 个有效数字。

如何将十进制数转换为科学记数法

使用以下步骤：

您的指数从零开始。
如果数字没有明确的小数点（例如 123），则它隐式地在最右端（例如 123.）。
将小数点向左或向右移动，以便小数点左侧只有一个非零数字。
- 每向左移动小数点一位，指数增加 1。
- 每向右移动小数点一位，指数减少 1。
去除所有前导零（有效数字的左端）
仅当原始数字没有小数点时，才去除所有尾随零（有效数字的右端）。我们假设它们不重要。如果您有额外信息表明它们很重要，您可以保留它们。

以下是一些示例：

Start with: 600.410
Slide decimal point left 2 spaces: 6.00410e2
No leading zeros to trim: 6.00410e2
Don't trim trailing zeros: 6.00410e2 (6 significant digits)

Start with: 0.0078900
Slide decimal point right 3 spaces: 0007.8900e-3
Trim leading zeros: 7.8900e-3
Don't trim trailing zeros: 7.8900e-3 (5 significant digits)

Start with: 42030 (no information to suggest the trailing zero is significant)
Slide decimal point left 4 spaces: 4.2030e4
No leading zeros to trim: 4.2030e4
Trim trailing zeros: 4.203e4 (4 significant digits)

Start with: 42030 (assuming the trailing zero is significant)
Slide decimal point left 4 spaces: 4.2030e4
No leading zeros to trim: 4.2030e4
Keep trailing zeros: 4.2030e4 (5 significant digits)

处理尾随零

考虑这样一种情况，我们请两位实验室助手分别称量同一个苹果。一位回来报告说苹果重 87.0 克。另一位回来报告说苹果重 87.000 克。假设称量是正确的。在前一种情况下，苹果的实际重量可能在 86.950 到 87.049 克之间。也许秤的精度只到小数点后一位。或者我们的助手稍微进行了四舍五入。在后一种情况下，我们对苹果的实际重量有更高的信心（它的实际重量在 86.99950 到 87.00049 克之间，这具有更小的变异性）。

转换为科学记数法时，小数点后的尾随零被认为是有效的，因此我们保留它们