O.4 — 在二进制和十进制表示之间转换整数

考虑一个十进制整数值，例如 5623。我们直观地理解这些数字表示 (5 * 1000) + (6 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)。因为有 10 个十进制数字，所以每个后续向左的数字的值都会增加 10 倍。

二进制数的工作方式相同，只是因为只有 2 个二进制数字（0 和 1），所以每个数字的值都增加 2 倍。就像逗号通常用于使大十进制数易于阅读一样（例如 1,427,435），我们通常将二进制数写成 4 位一组，以便更容易阅读（例如 1101 0101）。

下表以十进制和二进制计数到 15

将二进制转换为十进制

在以下示例中，我们假设处理的是无符号整数。

考虑 8 位（1 字节）二进制数 0101 1110。二进制 0101 1110 表示 (0 * 128) + (1 * 64) + (0 * 32) + (1 * 16) + (1 * 8) + (1 * 4) + (1 * 2) + (0 * 1)。如果我们将所有这些部分相加，我们得到十进制数 64 + 16 + 8 + 4 + 2 = 94。

这是表格格式的相同过程。我们将每个二进制数字乘以其数字值（由其位置决定）。将所有这些值相加即可得到总数。

将 0101 1110 转换为十进制

让我们将 1001 0111 转换为十进制

1001 0111 二进制 = 十进制 151。

这可以通过添加更多列轻松扩展到 16 位或 32 位二进制数。请注意，最简单的方法是从右端开始，然后向左工作，每次都将数字值乘以 2。

将十进制转换为二进制的方法 1

从十进制转换为二进制有点棘手，但仍然相当简单。有几种好的方法可以做到这一点。

在第一种方法中，您不断地除以 2，并记下余数。二进制数最终由余数从下到上构建。

将 148 从十进制转换为二进制（用 r 表示余数）

148 / 2 = 74 r0
74 / 2 = 37 r0
37 / 2 = 18 r1
18 / 2 = 9 r0
9 / 2 = 4 r1
4 / 2 = 2 r0
2 / 2 = 1 r0
1 / 2 = 0 r1

从下到上写下所有余数：1001 0100

十进制 148 = 二进制 1001 0100。

您可以通过将二进制数转换回十进制来验证此答案

(1 * 128) + (0 * 64) + (0 * 32) + (1 * 16) + (0 * 8) + (1 * 4) + (0 * 2) + (0 * 1) = 148

这种方法最适合人类，因为它只涉及除以 2。它对机器不太好，因为它需要存储所有计算出的位，以便以后可以反向打印。

将十进制转换为二进制的方法 2

在剩下的两种方法中，我们将向前工作，在计算每个位时进行计算，这样我们就不必在最后重新构造二进制数。

再次考虑十进制数 148。小于 148 的最大 2 的幂是 128，所以我们从这里开始。

148 >= 128 吗？是的，所以 128 位必须是 1。148 - 128 = 20，这意味着我们需要找到价值为 20 的更多位。
20 >= 64 吗？不是，所以 64 位必须是 0。
20 >= 32 吗？不是，所以 32 位必须是 0。
20 >= 16 吗？是的，所以 16 位必须是 1。20 - 16 = 4，这意味着我们需要找到价值为 4 的更多位。

4 >= 8 吗？不是，所以 8 位必须是 0。
4 >= 4 吗？是的，所以 4 位必须是 1。4 - 4 = 0，这意味着所有其余的位都必须是 0。

148 = (1 * 128) + (0 * 64) + (0 * 32) + (1 * 16) + (0 * 8) + (1 * 4) + (0 * 2) + (0 * 1) = 1001 0100

表格格式

当数字很小（例如 8 位二进制数）时，这种方法对人类来说非常容易。它对机器也相当高效，因为每个位都需要比较、减法和赋值。

将十进制转换为二进制的方法 3

此方法是方法 2 的变体，使用整数除法。再次考虑十进制数 148。小于 148 的最大 2 的幂是 128，所以我们从这里开始。

148 / 128 = 1，有一些余数。因为 1 是奇数，所以这个位是 1。
148 / 64 = 2，有一些余数。因为 2 是偶数，所以这个位是 0。
148 / 32 = 4，有一些余数。因为 4 是偶数，所以这个位是 0。
148 / 16 = 9，有一些余数。因为 9 是奇数，所以这个位是 1。
148 / 8 = 18，有一些余数。因为 18 是偶数，所以这个位是 0。
148 / 4 = 37，有一些余数。因为 37 是奇数，所以这个位是 1。
148 / 2 = 74，有一些余数。因为 74 是偶数，所以这个位是 0。
148 / 1 = 148，有一些余数。因为 148 是偶数，所以这个位是 0。

148 = (1 * 128) + (0 * 64) + (0 * 32) + (1 * 16) + (0 * 8) + (1 * 4) + (0 * 2) + (0 * 1) = 1001 0100

这种方法对人类来说不太好，因为它需要大量的除法。它对机器也效率较低，因为除法是一种低效的操作。但是它很容易用代码编写，因为它不需要 if 语句。

另一个例子

我们用方法 1 将 117 转换为二进制

117 / 2 = 58 r1
58 / 2 = 29 r0
29 / 2 = 14 r1
14 / 2 = 7 r0
7 / 2 = 3 r1
3 / 2 = 1 r1
1 / 2 = 0 r1

从余数反向构造数字，117 = 二进制 111 0101

并使用方法 2

小于 117 的最大 2 的幂是 64。

117 >= 64 吗？是的，所以 64 位必须是 1。117 - 64 = 53。
53 >= 32 吗？是的，所以 32 位必须是 1。53 - 32 = 21。
21 >= 16 吗？是的，所以 16 位必须是 1。21 - 16 = 5。

5 >= 8 吗？不是，所以 8 位必须是 0。
5 >= 4 吗？是的，所以 4 位必须是 1。5 - 4 = 1。
1 >= 2 吗？不是，所以 2 位必须是 0。
1 >= 1 吗？是的，所以 1 位必须是 1。

十进制 117 = 二进制 111 0101。

二进制加法

在某些情况下（我们稍后会看到一个），能够将两个二进制数相加很有用。二进制数相加出奇地容易（甚至可能比十进制数相加更容易），尽管一开始可能看起来很奇怪，因为您不习惯它。

考虑两个小的二进制数
0110（十进制 6）+
0111（十进制 7）

让我们将这些相加。首先，将它们对齐，就像我们上面做的那样。然后，从右到左，我们对每一列数字进行相加，就像我们对十进制数进行相加一样。但是，由于二进制数字只能是 0 或 1，所以只有 4 种可能性

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0，向下一列进位 1

我们来做第一列

0110 (6 in decimal) +
0111 (7 in decimal)
----
   1

0 + 1 = 1。简单。

第二列

 1
0110 (6 in decimal) +
0111 (7 in decimal)
----
  01

1 + 1 = 0，向下一列进位 1

第三列

11
0110 (6 in decimal) +
0111 (7 in decimal)
----
 101

这个有点棘手。通常，1 + 1 = 0，向下一列进位 1。但是，我们已经从上一列进位了 1，所以我们需要加 1。因此，我们这一列最终得到 1，并向下一列进位 1。

最后一列

11
0110 (6 in decimal) +
0111 (7 in decimal)
----
1101

0 + 0 = 0，但有进位 1，所以我们加 1。1101 = 十进制 13。

现在，我们如何将 1 添加到任何给定的二进制数（例如 1011 0011）？与上面相同，只是底部的数字是二进制 1。

      11  (carry column)
1011 0011 (original binary number)
0000 0001 (1 in binary)
---------
1011 0100

有符号数和补码

在上述示例中，我们只处理了无符号整数。在本节中，我们将了解如何处理有符号数（可以是负数）。

有符号整数通常使用一种称为**补码**的方法存储。在补码中，最左边（最高有效）的位用作符号位。0 符号位表示数字是正数（或零），1 符号位表示数字是负数。

正有符号数在二进制中表示方式与正无符号数相同（符号位设置为 0）。

负有符号数在二进制中表示为正数的按位反码加 1。

将十进制转换为二进制（补码）

例如，以下是我们如何在二进制补码中表示 -5

首先我们找出 5 的二进制表示：0000 0101
然后我们反转所有位：1111 1010
然后我们加 1：1111 1011

将 -76 转换为二进制

正 76 的二进制：0100 1100
反转所有位：1011 0011
加 1：1011 0100

我们为什么要加 1？考虑数字 0。如果负值仅仅表示为正数的反码（称为“反码”），那么 0 将有两种表示：0000 0000（正零）和 1111 1111（负零）。通过加 1，1111 1111 会故意溢出并变为 0000 0000。这可以防止 0 有两种表示，并简化了进行负数算术所需的一些内部逻辑。

将二进制（补码）转换为十进制

要将补码二进制数转换回十进制，首先看符号位。

如果符号位是 0，则像上面所示的无符号数一样转换该数字。

如果符号位是 1，则我们反转位，加 1，然后转换为十进制，然后将该十进制数变为负数（因为符号位最初是负数）。

例如，将 1001 1110 从补码转换为十进制数
给定：1001 1110
反转位：0110 0001
加 1：0110 0010
转换为十进制：(0 * 128) + (1 * 64) + (1 * 32) + (0 * 16) + (0 * 8) + (0 * 4) + (1 * 2) + (0 * 1) = 64 + 32 + 2 = 98
由于原始符号位是负数，所以最终值为 -98。

还有另一种更易于手动计算的方法。在这种方法中，符号位表示负值，所有其他位表示正值。

给定：1001 1110
转换为十进制：(1 * -128) + (0 * 64) + (0 * 32) + (1 * 16) + (1 * 8) + (1 * 4) + (1 * 2) + (0 * 1) = -128 + 16 + 8 + 4 + 2 = -98

类型为何重要

考虑二进制值 1011 0100。这个值代表什么？您可能会说是 180，如果这是一个无符号二进制数，您就对了。

但是，如果此值使用补码存储，则为 -76。

如果该值以其他方式编码，则可能完全是其他值。

那么 C++ 如何知道是将包含二进制 1011 0100 的变量打印为 180 还是 -76 呢？

如果本节标题没有泄露，这就是类型发挥作用的地方。变量的类型决定了变量的值如何编码为二进制，以及如何解码回值。因此，如果变量类型是无符号整数，它就会知道 1011 0100 是标准二进制，应该打印为 180。如果变量是有符号整数，它就会知道 1011 0100 是使用补码编码的（现在 C++20 保证了这一点），应该打印为 -76。

如何将浮点数转换为二进制或从二进制转换？

浮点数如何转换为二进制或从二进制转换要复杂得多，而且您可能永远不需要知道。但是，如果您好奇，请参阅此网站，它很好地详细解释了该主题。

小测验时间

#include <iostream>

void printBit(int x, int pow)
{
    std::cout << ((x / pow) % 2);
}

void print8BitBinary(int x)
{
    printBit(x, 128);
    printBit(x, 64);
    printBit(x, 32);
    printBit(x, 16);

    std::cout << ' ';

    printBit(x, 8);
    printBit(x, 4);
    printBit(x, 2);
    printBit(x, 1);    
}

int main()
{
    std::cout << "Enter an integer between 0 and 255: ";
    int x{};
    std::cin >> x;

    print8BitBinary(x);
    
    std::cout << '\n';

    return 0;
}